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Hintergrund: Die Festlegung der reduzierten Dimension, also der Anzahl für die nachfolgende Analyse zurückbehaltener Hauptkomponenten, erfolgt nach wie vor nach heuristisch motivierten Kriterien [Ref. 2]. Fortschritte in der Eigenwertstatistik zufälliger Wishartmatrizen [Ref. 3], [Ref. 7] zeigen Wege zu einer inferentiellen Herangehensweise auf. Der Spezialfall sehr vieler Variabler [Ref. 4] ist in vielen potentiellen Anwendungen der Hauptkomponentenanalyse realisiert, insbesondere in Genexpressionsanalyse und Proteomics. Der Beitrag bietet zudem einen kurzen Überblick über Ergebnisse der Zufallsmatrixtheorie, die in Zusammenhang mit Hauptkomponentenanalyse stehen.

Material und Methoden: Die Verteilungen der größten, zweitgrößten etc. Eigenwerte von Kovarianzmatrizen können aus der Verbundwahrscheinlichkeitsverteilung der Eigenwerte von Wishartmatrizen hergeleitet werden. Die resultierenden Ausdrücke beinhalten jedoch im Fall sehr vieler Variabler orthogonale Polynome hoher Ordnung, was die praktische Anwendung erschwert. Eine Entwicklung der Verbundwahrscheinlichkeitsverteilung in n/p, wobei n (endlich) die Zahl der Beobachtungen und p (gegen unendlich) die Zahl der Variablen bezeichnet, führt zu einer erheblichen Vereinfachung.

Ergebnisse: Es wird gezeigt, dass im Fall sehr vieler Variabler (ebenso im Fall sehr vieler Beobachtungen) nach einer linearen Transformation der Eigenwerte diese entsprechend der Verbundwahrscheinlichkeit der Eigenwerte in einem aus der Physik bekannten Ensemble von Zufallsmatrizen verteilt sind. Dies erlaubt Berechnung von Perzentilen der Eigenwerteverteilungen mit Computeralgebrasystemen wie Maple.

Diskussion: Die Theorie der Zufallsmatrizen (z.B. Mehta [Ref. 5]) ist ein sehr aktives Forschungsgebiet, dessen elegante Methoden und weitreichende Resultate Statistiker ebenso faszinieren wie Physiker und Ingenieure [Ref. 6], [Ref. 1], [Ref. 8]. Sie verknüpft lineare Algebra, Maßtheorie und Wahrscheinlichkeitstheorie unter Verwendung teils innovativer Integrationstechniken, und ist somit ein elementares Bindeglied zwischen Matrizen und Statistik. Eine aktuelle Herausforderung ist die Anwendung der Methoden auf Korrelationsmatrizen.