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Kubische Splines versus Quadratische Splines
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Published: | September 2, 2009 |
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Interpolierende kubische und vielleicht auch interpolierende quadratische Splines sind vielen Anwendern gut bekannt. Es können aber auch ausgleichende (oder smoothing) Splines konstruiert werden.
Ausgangspunkt ist kein statistischer Ansatz. Gestartet wird mit verschiedenen Optimierungsproblemen im Raum der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen über einem abgeschlossenen Intervall [1], [2].
Der Satz von Holladay stellt sicher, dass diese Optimierungsprobleme eindeutig durch eine natürliche kubische Splinefunktion gelöst werden. Das ist auch der Grund dafür, dass das ursprüngliche Problem in eine quadratische Optimierungsaufgabe im Rm überführt werden kann.
Um die Anzahl der Parameter zu reduzieren, könnten auch quadratische Splines eingesetzt werden. Die analogen Aufgabenstellungen haben auch in der Menge der quadratischen Splines eine eindeutig bestimmte Lösung. Der Vergleich der Zielfunktionswerte von optimalem natürlichem kubischem Spline und optimalem quadratischem Spline scheitert an der Tatsache, dass die quadratischen Splines nicht zweimal stetig differenzierbar sind.
Deshalb kann Holladays Resultat nicht direkt angewendet werden. Durch entsprechende Modifizierungen der ursprünglichen Beweisidee wird die Aussage des Satzes auch auf quadratische Splines ausgedehnt. Damit ist der angestrebte Vergleich möglich. Ergebnis ist die Tatsache, dass bei alleinigem Blick auf die Zielfunktion die natürlichen kubischen Splines überlegen sind.