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54. Jahrestagung der Deutschen Gesellschaft für Medizinische Informatik, Biometrie und Epidemiologie e.V. (GMDS)

Deutsche Gesellschaft für Medizinische Informatik, Biometrie und Epidemiologie

07. bis 10.09.2009, Essen

Kubische Splines versus Quadratische Splines

Meeting Abstract

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  • Michael Wodny - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald, Greifswald

Deutsche Gesellschaft für Medizinische Informatik, Biometrie und Epidemiologie. 54. Jahrestagung der Deutschen Gesellschaft für Medizinische Informatik, Biometrie und Epidemiologie (gmds). Essen, 07.-10.09.2009. Düsseldorf: German Medical Science GMS Publishing House; 2009. Doc09gmds127

DOI: 10.3205/09gmds127, URN: urn:nbn:de:0183-09gmds1278

Veröffentlicht: 2. September 2009

© 2009 Wodny.
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Gliederung

Text

Interpolierende kubische und vielleicht auch interpolierende quadratische Splines sind vielen Anwendern gut bekannt. Es können aber auch ausgleichende (oder smoothing) Splines konstruiert werden.

Ausgangspunkt ist kein statistischer Ansatz. Gestartet wird mit verschiedenen Optimierungsproblemen im Raum der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen über einem abgeschlossenen Intervall [1], [2].

Der Satz von Holladay stellt sicher, dass diese Optimierungsprobleme eindeutig durch eine natürliche kubische Splinefunktion gelöst werden. Das ist auch der Grund dafür, dass das ursprüngliche Problem in eine quadratische Optimierungsaufgabe im Rm überführt werden kann.

Um die Anzahl der Parameter zu reduzieren, könnten auch quadratische Splines eingesetzt werden. Die analogen Aufgabenstellungen haben auch in der Menge der quadratischen Splines eine eindeutig bestimmte Lösung. Der Vergleich der Zielfunktionswerte von optimalem natürlichem kubischem Spline und optimalem quadratischem Spline scheitert an der Tatsache, dass die quadratischen Splines nicht zweimal stetig differenzierbar sind.

Deshalb kann Holladays Resultat nicht direkt angewendet werden. Durch entsprechende Modifizierungen der ursprünglichen Beweisidee wird die Aussage des Satzes auch auf quadratische Splines ausgedehnt. Damit ist der angestrebte Vergleich möglich. Ergebnis ist die Tatsache, dass bei alleinigem Blick auf die Zielfunktion die natürlichen kubischen Splines überlegen sind.


Literatur

1.
de Boor C. A Practical Guide to Splines. New York: Springer; 2001.
2.
Holladay JC. A smoothest curve approximation. Mathematical Tables and other Aids to Computation. 1957;11:233-43.
3.
Reinsch CH. Smoothing by spline functions. Numer Math. 1967;10:177-83.