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Vorgehen zur Berechnung der „level probability“ und der gewichteten Chi-Quadrat-Verteilung
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Autoren
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Henrike Feuersenger
- Universität Dortmund; Universitätsklinikum Düsseldorf, Dortmund
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Wolfgang Urfer
- Universität Dortmund, Dortmund
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Jochen Mau
- Universitätsklinikum Düsseldorf, Düsseldorf
| Veröffentlicht: | 6. September 2007 |
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Gliederung
Text
Einleitung: Die isotone Regression für Trendtests benutzt eine Amalgamation, wodurch für die Teststatistik unter der Nullhypothese eine gewichtete Chi-Quadrat-Verteilung (D-Verteilung) mit sogenannten „level probabilities“ vorliegt.
Es werden die Theorie, die Berechnung der level probabilities und der D-Verteilung im Kontext des isotonen Regressionstrendests von Mau sowie Algorithmen diskutiert.
Methoden: Nach Barlow und Robertson existieren Berechnungsmöglichkeiten für die level probabilities für gleiche und ungleiche Gewichte. Im Gegensatz zu den gleichen Gewichten liegen für ungleiche Gewichte nur für eine Gruppenanzahl k ≤ 5 geschlossene Formen der level probabilities und somit eine Berechnungsmöglichkeit der D-Verteilung vor. Da bei steigendem k die Berechnungen aufwendig werden, existieren verschiedene Approximationsmöglichkeiten.
Ergebnisse: Liegen gleiche Gewichte vor, ist die level probability die Wahrscheinlichkeit, die gegebene Anzahl der Gruppen nach Pooling zu erhalten.
Bei ungleichen Gewichten ist die Berechnung komplexer. Sie wird unterteilt in:
- 1.
- die level probability ohne Pooling (P(k,k,w))
- 2.
- eine Rekursionsformel für P(m,k,w) mit 1 < m < k.
Die Approximation der D-Verteilung kann auf verschiedene Arten erfolgen. Siskind und Grove zeigten, dass die level probability gegenüber Veränderungen der Gewichte relativ robust ist und somit die Verteilung unter der Annahme gleicher Gewichte eine gute Approximation für ungleiche Gewichte ist. Bartholomew schlägt eine Approximation mittels der zweiten Momente einer Chi-Quadrat- oder Betaverteilung vor. Für die Fälle, dass ein Gewicht deutlich größer ist als die übrigen sowie dass zufällig angeordnete Gewichte in große und kleine unterteilt werden können, existieren weitere Approximationen.
Bei der Berechnung der level probabilities für ungleiche Gewichte sind Algorithmen als Hilfsmittel entwickelt worden [Ref. 4], [Ref. 5], [Ref. 8].
Diskussion: Es wird anhand des isotonen Regressionstests von Mau das Vorgehen zur Berechnung der level probabilities, der D-Verteilung und deren Theorie vorgeführt. Dadurch wird an einem konkreten Test das bis jetzt meist nur theoretisch behandelte Vorgehen Schritt für Schritt vorgeführt und somit von Nutzen für weitere Anwendungen sein.
Literatur
- 1.
- Barlow RE, Bartholomew DJ, Bremner JM, Brunk HD. Statistical Inference under Order Restrictions. John Wiley & Sons 1972; London.
- 2.
- Bartholomew DJ. A Test of Homogeneity for Ordered Alternatives II. Biometrika. 1959; 48: 328-335.
- 3.
- Bartholomew DJ. A Test of Homogeneity for Ordered Alternatives. Biometrika. 1959; 48: 36-48.
- 4.
- Bretz F. www.bioinf.uni-hannover.de/~bretz/ 2006.
- 5.
- Cran GW. Calculation of the probabilities P(l,k) for the Simply Orderes Alternative. Appl Statist. 1981; No. 30: 85-91.
- 6.
- Grove DM. A test of independence against a class of ordered alternatives in a 2 x C contingency table. J Amer Statist Assoc. 1980; 75: 454-459.
- 7.
- Mau J. Isotonic Regression Trend Test for Counting Processes. Statistics & Decisions. 1985; Supplement Issue No. 2: 187-191.
- 8.
- Pillers C, Robertson T, Wright FT. The Level Probabilities of Order Restricted Inference. Statistical Algorithms. 1984; 115-119.
- 9.
- Robertson T, Wright FT, Dykstra RL. Order Restricted Statistical Inference. John Wiley & Sons 1988; Wiltshire.
- 10.
- Siskind. Approximate probability integrals and critical values for Batholomew’s test for ordered means. Biometrika. 1976; 63: 647-654.
